四元数应用——转矩阵、Slerp插值与万向节

四元数应用——顺序无关的旋转混合

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今天说一些关于四元数的相关实例，较前两篇可能有些零碎，算是对于前两章的补充说明。具体来说，我们接下来会讨论三个问题，第一个是四元数与矩阵的转换，其次是四元数的插值问题，最后说一下万向节死锁问题。话不多说，开始正题。

1.四元数的矩阵形式

目前对于大多数底层的图形API，其对于空间坐标的转换还是基于矩阵。所以当我们使用四元数对旋转进行操作，最终传递给顶点着色器的数据还是要以矩阵的形式。不过，从应用层的角度来说，我们只要满足如下的公式就可以实现转换。

我相信大多数人并不满足于背公式，推导该公式的方法主要有两种。其中一种就是从代数的角度进行求解，说白了就是硬算。我们在《四元数和旋转（二）》中提到一个公式：

我们分别求出各项，可以得到三个矩阵，然后相加就是上面那个转换公式。这里不做推导，有兴趣的可以自己算一算。下面介绍一种比较灵性的一种证明方法。当给定下面两个四元数：

我们令他们相乘，其实可以写成矩阵与向量相乘的形式，如下图：

可以这么说，两个四元数相乘转变成矩阵L右乘四元数q。发散一下思维，我们还可以将该行为写成矩阵R左乘四元数q，具体形式如下图：

最体看L和R括号里面的四元数下标，由于四元数不满足交换律，所以顺序很重要，而括号里面的下标其实是不一样的，这个地方一定要注意。基础知识讲完了，下面就直接进行应用。根据旋转公式和以上的定义，我们很容易得到如下公式：

然后将L和R带入上述的矩阵中，我们可以得到：

证毕！

2.四元数的Slerp插值

其实插值问题一直都算是图形学中比较经典的问题，一般来说线性插值可以满足大多数的情况，但是对于旋转来说，线性插值肯定效果不好，我们来看下图：

从图中很明显看出，左图（线插）要逊于右图（球插）。一种从动画的角度解释是，为了保证每帧的旋转都是均匀变化的，线性插值得到的旋转结果一定是不均匀的，这主要考虑的是旋转角度。那我们从代数的角度去思考，如果两个单位四元数之间进行插值，如左图的线性插值，得到的四元数一定不是单位四元数，我们期望对于旋转的插值应该是不改变长度的，所以显然右图球面（Slerp）插值更为合理。

关于四元数的球面插值证明就很多了，Wiki上面就有很详细的证明以及实现的Code。主体思想其实就是施密特正交，先根据 和 解算出两个正 交的四元数，然后通过加权算出最终的 。下图能很好的说明白这个事。

下面主要讨论的是这个问题，上图中给出了球面插值公式的一种形式，我们暂且称为加法形式。由于四元数旋转是相乘的形式，我们上述的公式亦可以写成：

鉴于刨根问底的精神，首先先说说四元数的差（Difference），这个比较好理解，类似于矩阵，A和B的差，可以理解成先旋转A逆然后再旋转B，得到A和B之间的差值，表示为 。然后我们如果去t倍的差或者直接说差乘以一个t因子，这里就要引用了我们在《四元数与旋转（一）》中所述的四元数指数形式。对于 ，我们来看看 和 的情况，具体如下：

最后我们令 以及 ，根据下面公式重新审视一下球面插值：

可以看出，两种表现形式之间是可以互相转化的。

3.万向节死锁

其实这个问题不能算的上四元数的应用，万向节死锁早期是用来处理机械臂在旋转时自由度缺失的问题，由于当时机械臂的关节都是单自由度的，所以在模拟人体某些球形关节（自由度为3的关节）的时候，会采用三组相互正交的机械关节进行模拟。

如图所示，机械关节1-3共同模拟了手腕的活动，这里会导致一个问题，当关节2旋转90°后，关节1和关节3会重合，这样无论旋转关节1还是旋转关节3都只会沿着 轴进行旋转，这就是万向节死锁。值得一提的是，当你旋转关节1，关节2和关节3都会随着一起动，而当你旋转关节3，无论怎么旋转也不会影响关节2和关节1，所以只有关节2旋转90°会产生万向节死锁。

当早期计算机动画将机器人那套东西搬过来的时候，最简单的做法就是用欧拉角直接模拟旋转。这就导致了万向节死锁。那怎么去理解计算机动画里面的这个问题呢，毕竟动画里面也没有机械关节。

我们假定三个欧拉角的旋转顺序如下

当 的时候， 和 就会重合，如右图，这样就会产生万向节死锁。

所以为了避免这个问题，图形学旋转开始使用轴角，因为轴角可以讲三个欧拉角等效成一个绕着特定轴旋转的角度。低版本的OpenGL有个函数glRotate函数，实现的方法就是使用轴角。当然，并不是轴角不存在万向节死锁，当存在三个相互正交的轴角按一定顺序进行旋转，依然会产生万向节死锁，不过这种情况很难发生。

那么轴角已经解决这个问题，为什么我们要用四元数？

4.四元数总结

最后点个题，呼应一下前文，具体说说四元数的好处：

解决万向节死锁（Gimbal Lock）问题。（不要去用四元数模拟欧拉角！）仅需存储4个浮点数，相比矩阵更加轻量。比如矩阵至少要用9个float进行表示旋转信息，即便加上旋转缩放，也会比矩阵少存2-6个float，对于在PC上开发的游戏可能并不显著，毕竟现在内存都大，但在家用机（特别是上世代）上，内存比较吃紧的情况下就相当有利了。四元数无论是求逆、串联等操作，相比矩阵更加高效。比如取反就等同于求逆，即便是正交矩阵，转置的操作代价也比取反要高得多，更何况大多数情况由于存在缩放，求逆的操作会更加复杂。但是，使用四元数需要考虑将四元数与矩阵之间转换的成本，不过综合考虑，还是四元数操作成本比较低。

基本上四元数在我这也就告一段落了，之后会有请人 @Obsver Anonym 续一篇具体应用的文章，请大家敬请期待！