四元数系列：

四元数-基本概念

四元数-旋转

四元数应用-转矩阵Slerp插值与万向节

四元数应用-旋转混合顺序无关

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今天，我们来谈谈一些关于四元数的例子。与前两篇文章相比，它们可能有点分散，这是对前两章的补充说明。具体来说，我们将讨论三个问题。第一个是四元数和矩阵的转换，第二个是四元数的插入值。最后，我们来谈谈万向节锁的问题。话不多说，开始谈话。

1.四元数矩阵形式

目前，大多数底层的图形API，空间坐标的转换仍然基于矩阵。因此，当我们使用四元数来操作旋转时，最终传输给顶点着色器的数据应以矩阵的形式进行。然而，从应用层的角度来看，我们可以通过满足以下公式来实现转换。

我相信大多数人对背诵公式并不满意。推导公式的主要方法有两种。其中一个是从代数的角度解决问题。直率地说，这是一个硬算。我们在四元数和旋转（2）中提到了一个公式：

我们可以找到三个矩阵，然后添加上述转换公式。这里没有推导，感兴趣的人可以自己计算。以下是一种更灵性的证明方法。当给出以下两个四元数时：

如下图所示：

可以说，两个四元数相乘转换为矩阵L右乘四元数q。发散思维，把这种行为写成矩阵R左乘四元数q，具体形式如下图所示：

最体看L和R括号中的四元下标非常重要，因为四元不符合交换规律，括号中的下标实际上是不同的我们必须注意这个地方。基础知识完成后，直接应用于下面。根据旋转公式和上述定义，我们很容易得到以下公式：

然后将L和R在上述矩阵中，我们可以得到：

证毕！

2.四元数的Slerp插值

事实上，插值问题一直是图形学中的一个经典问题。一般来说，线性插值可以满足大多数情况，但对于旋转，线性插值肯定不好。让我们下图：

很明显，左图(线插)比右图(球插)差。从动画的角度来看，为了保证每帧的旋转均匀变化，线性插值得到的旋转结果必须不均匀，主要考虑旋转角度。然后我们从代数的角度来思考。如果两个单位的四元数之间的插值，如左图的线性插值，则得到的四元数不得为单位的四元数。我们希望旋转插值不会改变长度，因此显然右图的球面（Slerp）插值更合理。

四元数球面插值证明很多，Wiki上面有非常详细的证据和实现Code。事实上，主要思想是施密特正交。首先，根据 和 解算两个正 交四元，然后通过加权计算最终 。下图可以很好地解释这件事。

下面主要讨论的是这个问题。上图给出了一种球面插值公式，暂时称为加法形式。由于四元旋转是相乘的，我们的上述公式也可以写成:

鉴于刨根问底的精神，先说四元数的差异。（Difference），这更容易理解，类似于矩阵，A与B的差异可以理解为先旋转A，然后旋转B，得到A和B两者之间的差值，表示为 。然后，如果我们去t倍差或直接说差乘以t因子，我们将引用四元数和旋转（1）中提到的四元数指数形式。对于 ，我们来看看 和 具体情况如下：

最后我们令 以及 ，根据以下公式重新审视球面插值：

可见，两种表现形式可以相互转化。

三、万向节死锁

事实上，这个问题不能算作四元的应用。在万向节锁的早期阶段，它被用来处理旋转过程中机械臂缺乏自由度的问题。由于当时机械臂的关节是单自由的，在模拟人体的一些球形关节（自由度为3的关节）时，将使用三组正交机械关节进行模拟。

如图所示，当关节2旋转90时，机械关节1-3共同模拟手腕活动°之后关节1和关节3会重叠，所以旋转关节1和旋转关节3只会沿着 旋转轴，这就是万向节锁。值得一提的是，当你旋转关节1、关节2和关节3时，当你旋转关节3时，无论如何旋转都不会影响关节2和关节1，所以只有关节2旋转90°万向节锁会产生。

当早期的计算机动画移动机器人时，最简单的方法是直接模拟欧拉角的旋转。这导致了通用锁。那么如何理解计算机动画中的这个问题呢？毕竟，动画中没有机械关节。

假设三个欧拉角的旋转顺序如下

当 的时候， 和 它将重叠，如右图，从而产生万向节锁。

因此，为了避免这个问题，图形旋转开始使用轴角，因为轴角可以说三个欧拉角等同于绕特定轴旋转的角度。OpenGL有个函数glRotate实现函数的方法是使用轴角。当然，并不是说轴角没有万向锁。当三个正交轴角按一定顺序旋转时，仍然会产生万向锁，但这种情况很难发生。

所以轴角解决了这个问题，为什么要用四元数？

4.总结四元数

最后点一个问题，呼应前面的文章，具体说说四元数的好处:

解决万向节锁（Gimbal Lock）问题。(不要用四元数模拟欧拉角！）只需存储4个浮点，比矩阵轻。例如，矩阵至少需要9个float表示旋转信息，即使加上旋转缩放，也会比矩阵少存2-6个float，对于在PC游戏的开发可能并不明显，毕竟，现在内存很大，但在家用机器（尤其是上一代）中，内存相对较紧是相当有利的。无论是求逆、串联等操作，四元数都比矩阵更高效。例如，逆转相当于逆转。即使是正交矩阵，转移的操作成本也远高于逆转。此外，在大多数情况下，由于缩放，逆转操作将更加复杂。然而，使用四元数需要考虑转换四元数和矩阵的成本，但综合考虑，四元数的运行成本相对较低。

基本上四元数在我这里就结束了，以后会有人请人 @Obsver Anonym 请期待更新一篇具体应用的文章！